Unidad V Aplicaciones de la derivada

Objetivo:
El alumno analizará el comportamiento de las funciones con el uso de técnicas de optimización. Aplicará estas técnicas en la resolución de problemas de las disciplinas económico-administrativas.

5.1 Función creciente y decreciente.

Una función es creciente en un intervalo [a,b] si al tomar dos puntos cualesquiera del mismo, x1  y x2, con la condición x1 £ x2, se verifica que

 f( x1 ) < f( x2 ).

Se dice estrictamente creciente si de x1 < x2 se deduce que f(x1) < f(x2).

· Una función es decreciente en un intervalo [a,b] si para cualesquiera puntos del intervalo, x1  y x2, que cumplan x1 £ x2, entonces f(x1 ) ³ f(x2 ).

Siempre que de x1 < x2 se deduzca f(x1 ) > f(x2 ), la función se dice estrictamente decreciente.

· Una función es creciente en un punto a si existe un intervalo abierto

f(x) £ f(a) si x pertenece a (a - e, a) y

f(x) ³ f(a) si x pertenece a (a, a + e).

· Análogamente, una función es decreciente en un punto a si existe un intervalo abierto (a - e, a + e) en el que

f(x) ³ f(a) si x pertenece a (a - e, a) y

f(x) £ f(a) si x pertenece a (a, a + e).

La definición de función estrictamente creciente o decreciente en un punto se obtiene sin más que sustituir el símbolo £ por < y el ³ por el >.

Es preciso diferenciar el significado de función creciente o decreciente en un intervalo del de función creciente o decreciente en un punto.

Ejemplo: estudio del crecimiento y decrecimiento de una función

 Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función y = x2 en los puntos

Resolución:

· La función y = x2 es estrictamente creciente en el intervalo [0, +¥) puesto que si

Por otro lado, es estrictamente decreciente en (-¥, 0] ya que en este intervalo (al ser números negativos), si x3 < x4 Þ x32 > x42  (por ejemplo, -7 < -3 y (-7)2 > (-3)2 ). Es estrictamente decreciente en x = 0.

· Nótese cómo en x = 0 la función no es creciente ni decreciente. A la izquierda de este punto es decreciente y a la derecha es creciente.

Como pone de manifiesto este ejemplo, toda función creciente en un intervalo (respectivamente decreciente) es creciente (respectivamente decreciente) en todo punto de ese intervalo.

Recíprocamente, toda función estrictamente creciente (respectivamente decreciente) en todo punto de un intervalo, es creciente (respectivamente decreciente) en todo el intervalo.

http://www.sectormatematica.cl/contenidos/funcreyd.htm

5.2 Extremos relativos y extremos absolutos.

Máximo absoluto

Una función tiene su máximo absoluto en el x = a si la ordenada es mayor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

Mínimo absoluto

Una función tiene su mínimo absoluto en el x = b si la ordenada es menor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

a = 0

b = 0

Máximo y mínimo relativo

Una función f tiene un máximo relativo en el punto a, si f(a) es mayor o igual que los puntos próximos al punto a.

Una función f tiene un mínimo relativo en el punto b, si f(b) es menor o igual que los puntos próximos al punto b.

a = 3.08     b = -3.08

http://www.vitutor.com/fun/2/a_9.html

5.3 Prueba de la primera derivada para la determinación de máximos y mínimos

Criterio de la primera derivada para determinar los máximos y los mínimos

de una función

En el siguiente teorema se establece cómo determinar los valores máximos y los valores mínimos de una función, al estudiar los intervalos en que crece o decrece la función

Teorema 4
 
Sea f una función continua en un intervalo cerrado [a,b], que es derivable en todo punto del intervalo abierto ]a,b[. 

Sea c en ]a,b[$ tal que f'(c) = 0  o f'(c) no existe.

a.
Si f'(x) es positiva para todo x<c, y negativa para todo x>c, entonces f(c) es un valor máximo relativo de f(x)$.
b.
Si f'(x) es negativa para toda x<c, y positiva para toda x>c, entonces f(c) es un mínimo relativo de f(x).
c.
Si f'(x) es positiva para todo x<c y también lo es para todo x>c; o si f'(x) es negativa para todo x<cy a su vez para todo x>c, entonces f(c) no es un valor máximo relativo ni un valor mínimo relativo de f(x).
Prueba: Al final del capítulo.


Las situaciones enunciadas en a., b. y c. pueden representarse gráficamente como sigue:



Máximo relativo en x=c








https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/node4.html

5.4 Concavidad, puntos de inflexión y prueba de la segunda derivada

Una función es cóncava en un intervalo de su dominio cuando:

Dados dos puntos cualesquiera de dicho intervalo x1 y x2, el segmento que une los puntos (x1, f(x1)) y (x2, f(x2)) siempre queda por debajo de la gráfica.




Si f y f' son derivables en a, a es un:

Punto de inflexión

Si f'' = 0

y f''' ≠ 0

Cálculo de los puntos de inflexión

Para hallar los puntos de inflexión, seguiremos los siguientes pasos:

 1  Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.

 2  Realizamos la derivada tercera, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada segunda y si:

f'''(x) ≠ 0 Tenemos un punto de inflexión.

 3  Calculamos la imagen (en la función) del punto de inflexión.


Ejemplos


1. Hallar los puntos de inflexión de:

f(x) = x3 − 3x + 2

f''(x) = 6x 6x = 0 x = 0.

f'''(x) = 6 Será un punto de inflexión.

f(0) = (0)3 − 3(0) + 2 = 2

Punto de inflexión: (0, 2)


Si ya hemos estudiado la concavidad y convexidad de una función habrá:

Puntos de inflexión en los puntos en que esta pasa de cóncava a convexa o vicecersa.


2. Calcular los puntos de inflexión de la función:
















Tenemos un punto de inflexión en x = 0, ya que la función pasa de convexa a concava.





Punto de inflexión (0, 0)


http://www.vitutor.com/fun/5/c_11.html

5.5 Optimización de funciones económico-administrativas: maximización de funciones de ingreso, utilidad y beneficios; minimización de funciones de costos y costos promedio

1  Se plantea la función que hay que maximizar o minimizar.

 2  Se plantea una ecuación que relacione las distintas variables del problema, en el caso de que haya más de una variable.

 3  Se despeja una variable de la ecuación y se sustituye en la función de modo que nos quede una sola variable.

 4  Se deriva la función y se iguala a cero, para hallar los extremos locales.

 5  Se realiza la 2ª derivada para comprobar el resultado obtenido.

Ejemplo

e todos los triángulos isósceles de 12 m de perímetro, hallar los lados del que tome área máxima.



La función que tenemos que maximizar es el área del triángulo:



Relacionamos las variables:

2x + 2y = 12

x = 6 − y

Sustituimos en la función:



Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces.





Realizamos la 2ª derivada y sustituimos por 2, ya que la solución y = 0 la descartamos porque no hay un triángulo cuyo lado sea cero.








Por lo que queda probado que en y = 2 hay un máximo.

La base (2y) mide 4m y los lados oblicuos (x) también miden 4 m, por lo que el triangulo de área máxima sería un triangulo equilatero.

http://www.vitutor.com/fun/5/b.html

5.6 Elasticidades: elasticidad de la demanda y elasticidad del ingreso



La elasticidad de la demanda
Hay algunos bienes cuya demanda es muy sensible al precio, pequeñas variaciones en su precio provocan grandes variaciones en la cantidad demandada. Se dice de ellos que tienen demanda elástica. Los bienes que, por el contrario, son poco sensibles al precio son los de demanda inelástica o rígida. En éstos pueden producirse grandes variaciones en los precios sin que los consumidores varíen las cantidades que demandan. El caso intermedio se llama de elasticidad unitaria.
La elasticidad de la demanda se mide calculando el porcentaje en que varía la cantidad demandada de un bien cuando su precio varía en un uno por ciento. Si el resultado de la operación es mayor que uno, la demanda de ese bien es elástica; si el resultado está entre cero y uno, su demanda es inelástica.
Los factores que influyen en que la demanda de un bien sea más o menos elástica son:
1) Tipo de necesidades que satisface el bien. Si el bien es de primera necesidad la demanda es inelástica, se adquiere sea cual sea el precio; en cambio si el bien es de lujo la demanda será elástica ya que si el precio aumenta un poco muchos consumidores podrán prescindir de él.
2) Existencia de bienes sustitutivos. Si existen buenos sustitutos la demanda del bien será muy elástica. Por ejemplo, un pequeño aumento en el precio del aceite de oliva puede provocar que un gran número de amas de casa se decida por usar el de girasol.

La elasticidad de la demanda. Pulse en la imagen para ver una explicación animada.

3) Importancia del bien en términos de coste. Si el gasto en ese bien supone un porcentaje muy pequeño de la renta de los individuos, su demanda será inelástica. Por ejemplo, el lápiz. Las variaciones en su precio influyen muy poco en las decisiones de los consumidores que desean adquirirlos.
4) El paso del tiempo. Para casi todos los bienes, cuanto mayor sea el período de tiempo considerado mayor será la elasticidad de la demanda. Puede ser que al aumentar el precio de la gasolina, su consumo no varíe mucho, pero al pasar el tiempo podrá ser substituida en algunos de sus usos por el carbón, en otros usos por el alcohol, de forma que la disminución en la demanda sólo se nota cuando pasa el tiempo.
5) El precio. finalmente hay que tener en cuenta que la elasticidad de la demanda no es la misma a lo largo de toda la curva. Es posible que para precios altos la demanda sea menos elástica que cuando los precios son más bajos o al revés, dependiendo del producto de que se trate.
Hay diferentes clases de elasticidad. El fenómeno que hemos estado analizando bajo el nombre de "elasticidad" a secas, podríamos haberlo llamado con mayor propiedad elasticidad-precio ya que se trataba de medir la sensibilidad de la demanda a las variaciones en los precios. Pero la demanda puede ser también más o menos sensible a otros factores. Llamaremos elasticidad-renta a la medida de la sensibilidad de la demanda de un bien a las variaciones en la renta del consumidor. Llamaremos elasticidad cruzada a la medida de la sensibilidad de la demanda de un bien a las variaciones en el precio de otros bienes.


Según vimos antes, cuando la renta de un individuo aumenta, su consumo de todos los bienes aumentará también. Sin embargo eso no es siempre cierto. Hay algunos bienes, los llamados bienes inferiores, que se caracterizan por el hecho de que al aumentar la renta de los individuos disminuye el consumo de ellos. El ejemplo clásico es el de las patatas o, en general, el de los alimentos ricos en féculas. Conforme aumenta la renta de los individuos y de las sociedades, estos alimentos son substituidos por otros más ricos en proteínas, la carne, por ejemplo. Hay otros bienes, por el contrario, cuyo consumo aumenta más que proporcionalmente al aumentar las rentas. Son los bienes de lujo.
Para medir la sensibilidad de los bienes a las variaciones en la renta de los individuos se utiliza el concepto de elasticidad-renta: porcentaje en que varía la cantidad demandada de un bien cuando la renta del consumidor varía en un uno por ciento. En el caso de los bienes inferiores, la elasticidad-renta es negativa ya que el aumento de ésta provoca la contracción de la demanda de aquellos. La elasticidad-renta de los bienes de lujo es muy alta ya que las variaciones en la renta provocan grandes variaciones en la cantidad demandada. Los bienes de primera necesidad, a diferencia de los bienes inferiores, tienen la elasticidad-renta de la demanda positiva pero muy pequeña, en otras palabras, su demanda es inelástica con respecto a la renta. Finalmente, los bienes normales mostrarán una elasticidad-renta unitaria, es decir, su demanda aumentará aproximadamente en la misma proporción en que lo haga la renta de los individuos.
Las relaciones que existan entre bienes permiten otra forma de clasificación. Se llaman bienes complementarios a los que son consumidos conjuntamente: los coches y la gasolina, los canarios y las jaulas. La peculiaridad de estos bienes es que cuando aumenta el precio de uno disminuye la cantidad demandada del otro. El fenómeno opuesto puede observarse en el caso de los bienes sustitutivos o sustituibles, los que pueden utilizarse de forma alternativa: el aceite de oliva y el de girasol. En este caso el aumento del precio de uno provoca el aumento de la cantidad demandada del otro.
Para medir la sensibilidad de la demanda de un bien a las variaciones en el precio de otro se utiliza la elasticidad cruzada: porcentaje en que varía la cantidad demandada de un bien cuando el precio de otro varía en un uno por ciento. La elasticidad cruzada será positiva si las variaciones en el precio y en la cantidad demandada van en el mismo sentido, es decir, en el caso de los bienes sustitutivos. Como el sentido del cambio es diferente entre el precio y la demanda de los bienes complementarios, su elasticidad cruzada será negativa.


http://www.eumed.net/cursecon/4/elasticidad-demanda.htm



Al igual que la demanda puede ser medida por un coeficiente como la elasticidad precio de la demanda, ésta puede ser medida pero tomando como variable el ingreso de los consumidores. La ecuación es la siguiente:

ηI=ΔQ/ΔI . I/Q

En esta ecuación se mide la variación porcentual del consumo cuando aumenta el ingreso de los consumidores. Este coeficiente puede ser positivo o negativo. Si es positivo significa que el bien en estudio, el cual varía su consumo, es un bien normal, y si el coeficiente es negativo, el bien será inferior. Este coeficiente se puede estimar teniendo una función de demanda con los coeficientes respectivos, siguiendo los pasos dados en el caso de la elasticidad precio de la demanda.


http://www.zonaeconomica.com/teoria-utilidad-demanda/elasticidad/ingreso

Resumen:
 Con la V unidad concluimos el semestre, en esta unidad vimos los temas de como las funciones pueden ser crecientes y decrecientes, conocimos los extremos relativos y sus extremos absolutos, conocimos los puntos de inflexión y su aplicacion en la elasticidad de demanda e ingreso.