Unidad II Límites y Continuidad

Objetivo:
El alumno comprenderá la noción de límite y de continuidad de una función; las propiedades de los límites y los casos especiales de los límites. Aprenderá a calcular el límite de una función.

2.1 Definición de Límites
 El límite de la función f(x) en el punto x0, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x0. Es decir el valor al que tienden las imágenes cuando los originales tienden a x0.

x	f(x)
1,9	3,61
1,99	3,9601
1,999	3,996001
...	...
↓	↓
2	4

x	f(x)
2,1	4.41
2,01	4,0401
2,001	4,004001
...	...
↓	↓
2	4

Vamos a estudiar el límite de la función f(x) = x2 en el punto x0 = 2.
Tanto si nos acercamos a 2 por la izquierda o la derecha las imágenes se acercan a 4.


Se dice que la función f(x) tiene como límite el número L , cuando x tiende a x0, si fijado un número real positivo ε , mayor que cero, existe un numero positivo δ dependiente de ε, tal que, para todos los valores de x distintos de x0 que cumplen la condición|x − x0| < δ , se cumple que |f(x) − L| < ε.





También podemos definir el concepto de límite a través de entornos:


Definición por entorno si y sólo si, para cualquier entorno de L que tomemos, por pequeño que sea su radio ε, existe un entorno de x0, Eδ(x0), cuyos elementos (sin contar x0), tienen sus imágenes dentro del entorno de L, Eε(L).

http://www.vitutor.com/fun/3/a_1.html

2.2 Propiedades de los límites

Límite de una constante






Límite de una suma





Límite de un producto





Límite de un cociente



Límite de una potencia



Límite de una función



g puede ser una raíz, un log, sen ,cos, tg, etc.

Límite de una raíz

Límite de un logaritmo




http://www.vitutor.com/fun/3/a_5.html


2.3 Límites laterales

Diremos que el límite de una función f(x) cuando x tiende hacia a por la izquierda es L, si y sólo si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si x pertenece R (a − δ, a) , entonces |f (x) − L| < ε .



Diremos que el límite de una función f(x) cuando x tiende hacia a por la derecha es L , si y sólo si para todoε > 0 existe δ > 0 tal que si x   (a, a + δ), entonces |f (x) - L| <ε .


El límite de una función en un punto si existe, es único.









En este caso vemos que el límite tanto por la izquierda como por la derecha cuando x tiende a 2 es 4.

El límite de la función es 4 aunque la función no tenga imagen en x = 2.

Para calcular el límite de una función en un punto, no nos interesa lo que sucede en dicho punto sino a su alrededor.








Como no coinciden los límites laterales, la función no tiene límite en x = 0.

http://www.vitutor.com/fun/3/a_2.html

2.4 Límites al infinito.

Una función f(x) tiene por límite +∞ cuando x → a, si fijado un número real positivo K > 0 se verifica que f(x) > k para todos los valores próximos a a.


Ejemplo:



Límite menos infinito

Una función f(x) tiene por límite -∞ cuando x tiende a, si fijado un número real negativo K < 0 se verifica que f(x) < k para todos los valores próximos a a.



Ejemplo:




http://www.vitutor.com/fun/3/a_3.html

2.5 Continuidad y discontinuidad.

Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:
1. Que el punto x = a tenga imagen.




2. Que exista el límite de la función en el punto x = a.



3. Que la imagen del punto coincida con el límite de la función en el punto.



Ejemplo:

Estudiar la continuidad de




1. La función tiene imagen en x = 2.

f(2)= 4

2. La función tiene límite en x = 2 porque coinciden los límites laterales.



3. En x = 2 la imagen coincide con el límite



En la gráfica podemos comprobar que es continua.



Discontinuidad:

Si alguna de las tres condiciones continuidad de no se cumple, la función es discontinua en un punto.



La función es discontinua porque en x = 2 no existe imagen





La función es discontinua porque en x = 2 no tiene límite, ya que no coinciden los límites laterales..







La función es discontinua porque en x = 2 no coincide la imagen con el límite



http://www.vitutor.com/fun/3/b_4.html

2.6 Aplicaciones a las ciencias económico administrativas: interés compuesto continuamente, límite de la función costo promedio.

El interés compuesto representa el costo del dinero, beneficio o utilidad de un capital inicial (C) o principal a una tasa de interés (i) durante un período (t), en el cual los intereses que se obtienen al final de cada período de inversión no se retiran sino que se reinvierten o añaden al capital inicial; es decir, se capitalizan, produciendo un capital final (Cf).

Para un período determinado sería

Capital final (Cf) = capital inicial (C) más los intereses.

Veamos si podemos generalizarlo con un ejemplo:

Hagamos cálculos para saber el monto final de un depósito inicial de $ 1.000.000, a 5 años plazo con un interés compuesto de 10 % (como no se especifica, se subentiende que es 10 % anual).

Año	Depósito inicial	Interés	Saldo final
0 (inicio)	$1.000.000	($1.000.000 x 10% = ) $100.000	$1.100.000
1	$1.100.000	($1.100.000 × 10% = ) $110.000	$1.210.000
2	$1.210.000	($1.210.000× 10% = ) $121.000	$1.331.000
3	$1.331.000	($1.331.000 × 10% = ) $133.100	$1.464.100
4	$1.464.100	($1.464.100 × 10% = ) $146.410	$1.610.510
5	$1.610.510

Paso a paso resulta fácil calcular el interés sobre el depósito inicial y sumarlo para que esa suma sea el nuevo depósito inicial al empezar el segundo año, y así sucesivamente hasta llegar al monto final.

Resulta simple, pero hay muchos cálculos; para evitarlos usaremos una fórmula de tipo general:

En inversiones a interés compuesto, el capital final (Cf), que se obtiene a partir de un capital inicial (C), a una tasa de interés (i), en un tiempo (t), está dado por la fórmula:

http://www.profesorenlinea.com.mx/matematica/Interes_compuesto.html

límite de la función costo promedio.

 Maximización de costo promedio El costo promedio mensual debido en una empresa de ensamble de computadoras por unidades ensambladas está dado por la siguiente función:            Cu= 15000+ 1250u 

En donde u representa el número de unidades ensambladas. 

Se desea aumentar el número de unidades ensambladas. 

Determine el costo promedio máximo de la empresa si se aumenta la producción de unidades de ensamblaje. 

El costo promedio mensual esta dado por la función C(u)=15,000+1,250/u 

La función para costo promedio mensual salió de: C(x) = aX+Cf para poder determinar cuál es el costo fijo.

 Sustituyendo: C(x)=15,000x+1,250 

El costo promedio mensual es igual al costo total entre el número de unidades ensambladas que aportan al costo.

 La función de costo promedio: Cm(x) = Cx/x Sustituyendo C(x) = ([15,000x /x] + [1250/x]) = 15,000+1250/x = C(u)=15,000+1,250/u 

Donde U representa al infinito y todo número dividido entre infinito es igual a 0. 

Entonces C(u)=15,000+ 0 C(u)=15,000

La función de costo promedio mensual tiene 15,000 . 

Como el número de unidades ensambladas no esta definido, se considera infinito y la función tiende a 15,000.

http://administracion.realmexico.info/2012/10/limites-y-aplicacion-en-funciones.html

Resumen:

En este modulo, vimos el tema de los límites, sus propiedades y la continuidad y discontinuidad en una función