El alumno entenderá el concepto de derivada y su interpretación geométrica y como razón de cambio. Utilizará la definición de la derivada para obtener algunas reglas de derivación. Aplicará las reglas de derivación en la resolución de problemas que involucren los conceptos de tasa instantánea de cambio, tangente a una curva en un punto; y medida marginal de funciones de costo, utilidad,ingreso y producción
3.1 Definición de la derivada
La derivada de la función f(x) en el punto x = a es el valor del límite, si existe, de un cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero
Hallar la derivada de la función f(x) = 3x2 en el punto x =
http://www.vitutor.com/fun/4/a_2.html
Si f(x) es una función derivable, la diferencial de una función correspondiente al incremento h de la variable independiente, es el producto f'(x) · h.
La diferencial de una función se representa por dy.
Interpretación geométrica
La diferencial en un punto representa el incremento de la ordenada de la tangente, correspondiente a un incremento de la variable
Ejemplos
http://www.dervor.com/derivadas/diferencial.html
3.3 La derivada como razón de cambio
LA DERIVADA COMO RAZÓN DE CAMBIO Si y f ( x) , entonces la razón de cambio promedio de Y con respecto a X en el intervalo x, x x se define como: y f (x x) f ( x) x xEjemplo:Si f ( x) x 2 3 x ¿Cuál es la razón de cambio promedio entre x1 2 y x2 10 ?Solución y 70 2 x x2 x1 f (2) (2) 2 3(2) f (10) (10) 2 3(10) x 8 x 10 2 f (2) 4 6 f (2) 100 30 y 68 x 8 f (2) 2 f (2) 70 x 8 2 y 17 x 2
LA DERIVADA COMO RAZÓN DE CAMBIO Si y f ( x) , entonces la razón de cambio
instantánea de Y con respecto a X se define como: y y f (x x) f ( x) lim lim f ( x) x x 0 x x 0 x
x) x 2 3x f (2) 2(2) 3 f (10) 2(10) 3 f ( x) 2 x 3 f (2) 4 3 f (10) 20 3 f (2) 1 f (10) 17 3
http://es.slideshare.net/willaren/la-derivada-como-razon-de-cambio-13597361
3.4 Diferenciabilidad y continuidad
Derivada; Diferenciabilidad
La derivada de una función f en el punto a en su dominio se define por
| f'(a) | = | lim h  0 |  h |
Decimos que la función f es diferenciable en el punto a en su dominio si f'(a) existe.
Diferenciable en un subconjunto del dominio
La función f es diferenciable en el subconjunto S de su dominio si es diferenciable en cada punto de S.
La función f es diferenciable en el subconjunto S de su dominio si es diferenciable en cada punto de S.
Nota
| Una función puede fallar ser diferenciable en el punto a si | lim h 0 | h | no existe, o es infinito. |
En el primer caso, a veces tenemos una cúspide en la gráfica, y en el último caso, obtenemos un punto de tangencia vertical.
3.5 Reglas básicas de derivación: la derivada de una constante, de una constante por una función, de suma o resta de funciones, y del producto o del cociente de funciones.
Regla 1. Para una constante "a"
Ejemplo: Si f(x)= 15 , su derivada es f '(x)= 0
Regla 2. Para la función identidad f(x)= x
Si f(x)= x, su derivada es f ' (x)= 1
Ejemplo: f(x)= x , su derivada es f '(x)= 1
Regla 3. Para una constante "a" por una variable x
Si f (x)=ax , su derivada es f '(x)= a
Ejemplo: si f (x)= 12x, su derivada es f '(x)= 12
Regla 4. Para una variable "x" elevada a una potencia "n"
Si f(x)= x , su derivada es f´(x)=nx
3 2
Ejemplo: f(x)= x, su derivada es f´(x)= 3x
Regla 5. Para una constante "a" por una variable "x" elevada a una potencia "n"
n n-1
Si f(x)= ax , su derivada es f´(x)= anx
2
Ejemplo: f(x)= 4x, su derivada es f´(x)= 8x
Regla 6. Para una suma de funciones
Si f(x)= u(x) + v(x), su derivada es f´(x)= u´(x) + v´(x)
2
Ejemplo: f(x)= 3x + 4x, su derivada es f´(x)= 6x+4
7. Regla del producto
Esta regla es útil cuando se tiene una función formada de la multiplicación de polinomios,
3 4
Ejemplo: f(x)= (2x+3)(3x-5)
2 4 3 3
f´(x)=(6x )(3x-5) + (2x+3)(12x )
8. Regla del cociente
Esta regla es útil cuando se tiene una función formada de la división de polinomios, como
Si "u" y "v" son los polinomios 2
La función f(x)= u/v, Se deriva u´v - uv ´/v
3 4
Ejemplo: f(x)= 2x+3 / 3x-5
2 4 3 3 4 2
f´(x)= (6x )(3x-5) - (2x+3)(12x ) / (3x-5)
9.Regla de la cadena
Esta regla útil cuando se tiene una función formada por un polinomio elevado a una potencia
Si "u" es el polinomio
n n-1
La función: f (x) = u, Su derivada f´(x)= n(u) (u´)
3 5
Ejemplo: f(x)= (2x+3)
3 4 2
f´(x)= 5(2x+3) (6x )
2 3 4
f´(x)= 30x (2x+3)
3.6 La regla de la cadena y de la potencia.
.Regla de la cadena
Esta regla útil cuando se tiene una función formada por un polinomio elevado a una potencia
Si "u" es el polinomio
n n-1
La función: f (x) = u, Su derivada f´(x)= n(u) (u´)
3 5
Ejemplo: f(x)= (2x+3)
3 4 2
f´(x)= 5(2x+3) (6x )
2 3 4
f´(x)= 30x (2x+3)
Regla . Para una variable "x" elevada a una potencia "n"
Si f(x)= x , su derivada es f´(x)=nx
3 2
Ejemplo: f(x)= x, su derivada es f´(x)= 3x
Costo Marginal.
Costo marginal es un término en economía que se refiere a la cantidad que le costará a una firma producir una unidad más de un producto. Es igual al cambio en el costo sobre el cambio en la producción, y es comúnmente presentado como la curva de costo marginal, un gráfico que muestra el costo marginal en relación a todos los niveles de producción. La curva representa las economías variables de escala, que es la idea de que el costo para producir un único bien depende del volumen total que es producido. Para calcular el costo marginal, necesitarás saber el costo total en dos niveles de producción.
http://www.ehowenespanol.com/calcular-costo-marginal-como_124981/
Ingreso Marginal
El diccionario de términos financieros y de inversión define al ingreso marginal como el "cambio en los ingresos totales que resulta de aumentar en una unidad el volumen de ventas". Se calcula tomando la diferencia entre el total de ingresos antes y después de incrementar la producción. Si el precio del producto es constante, el ingreso marginal es igual a este precio. Mientras el precio del producto permanezca constante, los conceptos precio e ingreso marginal significarán lo mismo; pero no es raro que la unidad adicional se venda a un precio superior o inferior. No se recomienda realizar una producción adicional cuando el coste marginal es superior al ingreso marginal.
http://www.ehowenespanol.com/calcular-ingreso-marginal-como_14950/
En economía, la utilidad marginal de un bien o servicio es la ganancia (o pérdida) ante un aumento (o disminución) del consumo de ese bien o servicio en una unidad. Los economistas hablan a veces de una ley de la utilidad marginal decreciente pero si somos puristas, la función de utilidad marginal si el precio de venta es fijo debería ser una función inversa del costo marginal ya que se calcularía restando al precio este coste marginal.
Así para la primera unidad vendida difícilmente una empresa ganará dinero ya que tendrá unos costes fijos que cubrir, pero según aumente su producción estos se repartirán entre más unidades por lo que la utilidad marginal irá aumentando (primero las pérdidas serán cada vez menores y después los beneficios cada vez mayores) hasta el punto en que los costes marginales comiencen a aumentar por sobrecapacidad, nuevas necesidades de activo fijo, etc, momento en que la utilidad marginal comenzará a decrecer pudiendo llegar a ser negativa.
A Tengo pérdidas, ya que con la cantidad vendida no cubro los costes fijos (utilidad marginal negativa pero cada vez menor)
B Conforme aumento la cantidad vendida aumento mis beneficios totales (utilidad marginal negativa positiva, primero creciente pero después decreciente)
C Conforme aumento la cantidad vendida reduzco mis beneficios (utilidad marginal negativa)
El concepto de utilidad marginal también se usado habitualmente en la gestión de carteras, ya que a partir de un punto de la frontera eficiente, cada vez que un inversor invierte en activos con una potencial rentabilidad mayor, el riesgo que asumirá crecerá más que exponencialmente.
http://www.enciclopediafinanciera.com/definicion-utilidad-marginal.html
Propensión Marginal al Consumo
En economía, la propensión marginal al consumo (PMC) es una métrica empírica que cuantifica el consumo inducido, el concepto de que ante un aumento en el nivel de ingreso disponible aumentará el gasto en consumo.
La propensión marginal al consumo cuantifica que cantidad de un aumento en el ingreso disponible se destinará consumo. Por ejemplo, si una familia gana un dólar adicional de ingreso disponible, y la propensión marginal al consumo es 0,65, el hogar gastará 65 centavos y ahorrará (propensión marginal al ahorro) 35 centavos
http://www.enciclopediafinanciera.com/definicion-propension-marginal-al-consumo.html
Propensión Marginal al Ahorro
En economía, la propensión marginal al ahorro (PMA) es una métrica empírica que cuantifica el ahorro inducido, el concepto de que ante un aumento en el nivel de ingreso disponible aumentará el nivel de ahorro.
La propensión marginal al ahorro cuantifica que cantidad de un aumento en el ingreso disponible se destinará a ahorro. Por ejemplo, si una familia gana un dólar adicional de ingreso disponible, y la propensión marginal al consumo es 0,40, el hogar ahorrará 40 centavos y consumirá(propensión marginal al consumo) 60 centavos
http://www.enciclopediafinanciera.com/definicion-propension-marginal-al-ahorro.html
En esta unidad vimos las derivadas, sus principales reglas y como es que podemos aplicarlas para sacar el costo marginal y el ingreso marginal.
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