jueves, 21 de mayo de 2015
Unidad I. Funciones.
Objetivo:
El alumno entenderá el concepto de función y su manipulación algebraica, así como su representación gráfica. Resolverá problemas de aplicación, dando especial énfasis a aquellos relacionados con las áreas económico administrativas, tales como la Economía, Mercadotecnia, Administración, Turismo, Recursos Humanos, Sistemas de Información y Negocios Internacionales
En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito).
El dominio y el rango de una función están normalmente limitados por la naturaleza de la relación. Por ejemplo, considera la función de tiempo y altura que ocurre cuando lanzas una pelota al aire y luego la atrapas. El tiempo es la entrada, la altura es la salida. El dominio es cada valor de tiempo durante el lanzamiento, e inicia desde el instante en que la pelota abandona tu mano hasta el instante que la pelota regresa a ella. El tiempo antes de que la lances y el tiempo después de que la atrapas es irrelevante, ya que la función sólo aplica para la duración del lanzamiento. Digamos que la pelota estuvo en el aire durante 10 segundos — en ese caso, el dominio es 0-10 segundos. Ya que el tiempo transcurre continuamente durante éste intervalo, no podemos escribir cada posible salida, sólo el valor inicial y el valor final.
El rango es cada altura de la pelota mientras está en el aire, e incluye todas las alturas, desde la altura de tu mano cuando lanzaste la pelota, hasta el punto más alto alcanzado antes que ésta empezara a caer. Si tu mando estaba a 3 pies del suelo cuando aventaste y atrapaste la pelota, y la distancia más alta que alcanzó fue de 12 pies también con respecto al suelo, entonces el rango es de 3-12 pies. Ya que la altura cambia constantemente durante éste intervalo, no podemos escribir cada posible salida, sólo el valor inicial y el valor final.
Ahora veamos otro ejemplo de dominio y rango, Aquí hay una serie de figuras, cada una de ellas formada por cuadrados.
Funciones algebraicas
En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.
Las funciones algebraicas pueden ser:
Funciones explícitas
Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.
f(x) = 5x − 2
Funciones implícitas
Si no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones.
5x − y − 2 = 0
Funciones polinómicas
Son las funciones que vienen definidas por un polinomio.
f(x) = a0 + a1x + a2x² + a2x³ +··· + anxn
Su dominio es R, es decir, cualquier número real tiene imagen.
Funciones constantes
El criterio viene dado por un número real.
f(x)= k
La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.
Funciones polinómica de primer grado
f(x) = mx + n
Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función.
Son funciones de este tipo las siguientes:
Función afín.
Función lineal.
Función identidad.
Funciones cuadráticas
f(x) = ax² + bx + c
Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.
Funciones racionales
El criterio viene dado por un cociente entre polinomios:
Función racional
El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador.
Funciones radicales
El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.
El dominio de una función irracional de índice impar es R.
El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.
Funciones algebraicas a trozos
Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren.
Funciones en valor absoluto.
Función parte entera de x.
Función mantisa.
Función signo.
Funciones trascendentes
La variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.
Funciones exponenciales
función
Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia ax se llama función exponencial de base a y exponente x.
Funciones logarítmicas
La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.
Funciones trigonométricas
Función seno
f(x) = sen x
Función coseno
f(x) = cos x
Función tangente
f(x) = tg x
Función cosecante
f(x) = cosec x
Función secante
f(x) = sec x
Función cotangente
f(x) = cotg x
http://www.vitutor.com/fun/2/c_1.html
http://www.sectormatematica.cl/contenidos/funoper.htm
http://www.sectormatematica.cl/contenidos/funcomp.htm
Función de oferta y demanda
En Economía aparecen como objeto de estudio las funciones de oferta y de demanda.
La función de demanda fd para cualquier producto, es la función que nos da el número de unidades de producto en función del precio p (por unidad) que los consumidores están dispuestos a comprar. La relación puede ser lineal o cuadrática.
fd = mp + n con m<0 o bien fd = ap2 + bp + c, con a<0.
La función de oferta fo , para cualquier producto, es la función que nos da el número de unidades que la empresa está dispuesta a producir en función del precio (por unidad) del producto. La relación puede ser lineal o cuadrática.
fo = kp + v con k>0 o bien fo = dp2 + ep + f, con d>0.
El equilibrio del mercado se produce cuando el número de unidades que se fabrican coincide con el número de unidades de producto que se demandan. El precio por unidad de producto en este caso se denomina "precio de equilibrio".
En la siguiente escena vamos a analizar la situación que resulta cuando ambas funciones, Oferta y demanda, son lineales. En la parte superior de la escena introduciremos los coeficiente de la función oferta y en la inferior los de la función demanda.
funciones de ingresos, costos y utilidades
Función de Ingreso (IT): es simplemente el precio de un bien multiplicado por la cantidad que se vende de ese bien.
Ingreso marginal (IM): es el incremento que experimenta el ingreso total cuando se eleva la producción en una unidad. El IM puede ser positivo o negativo en dependencia de la elasticidad de la demanda.
Para un bien en estudio el ingreso marginal se relaciona con el ingreso total, de forma:
Cantidad Q Precio
P=IT/Q (pesos) Ingreso total IT=PxQ (pesos) Ingreso marginal IM (pesos)
En el caso que se tenga la función de ingresos totales, IM= (IT)’.
Función de Costos:
Una función costo especifica el costo C como una función de la cantidad de artículos x. En consecuencia, C(x) es el costo de x artículos, y tiene la forma:
Costo = Costo variable + Costo fijo
En la que el costo variable es una función de x y el costo fijo es constante. Una función costo de la forma
C(x) = mx + b
Se llama una función costo lineal; el costo variable es mx y el costo fijo es b. La pendiente, el costo marginal, mide el costo incrementa por artículo.
Función de utilidad:
U = f (X1, X2, X3 , ... , Xn) (1.1)
Donde “U” es el nivel de la utilidad y “Xi” son los bienes y/o servicios que consume una determinada persona.
http://es.scribd.com/doc/68823445/Funcion-de-Costo-Utilidad-e-Ingresos#scribd
funciones de apreciación y depreciación.
Ahora para conocer el gasto cada año multiplicaremos el número de kilogramos cosechados cada año por ese gasto unitario obtenido anteriormente, que en este caso, al tratarse de 5 años de vida útil, quedará así:
Resumen:
en este modulo aprendimos lo que es una función matemáticas y los diferentes tipos de funciones que existen y como estas se aplican en administración.
El alumno entenderá el concepto de función y su manipulación algebraica, así como su representación gráfica. Resolverá problemas de aplicación, dando especial énfasis a aquellos relacionados con las áreas económico administrativas, tales como la Economía, Mercadotecnia, Administración, Turismo, Recursos Humanos, Sistemas de Información y Negocios Internacionales
1.1 Definición y notación de función.
En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito).
Usualmente se emplean dos notaciones:
x --------> x2 o f(x) = x2 .
1.2 Dominio y rango de una función.
El rango es cada altura de la pelota mientras está en el aire, e incluye todas las alturas, desde la altura de tu mano cuando lanzaste la pelota, hasta el punto más alto alcanzado antes que ésta empezara a caer. Si tu mando estaba a 3 pies del suelo cuando aventaste y atrapaste la pelota, y la distancia más alta que alcanzó fue de 12 pies también con respecto al suelo, entonces el rango es de 3-12 pies. Ya que la altura cambia constantemente durante éste intervalo, no podemos escribir cada posible salida, sólo el valor inicial y el valor final.
Ahora veamos otro ejemplo de dominio y rango, Aquí hay una serie de figuras, cada una de ellas formada por cuadrados.
1.3 Tipos de funciones
Funciones algebraicas
En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.
Las funciones algebraicas pueden ser:
Funciones explícitas
Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.
f(x) = 5x − 2
Funciones implícitas
Si no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones.
5x − y − 2 = 0
Funciones polinómicas
Son las funciones que vienen definidas por un polinomio.
f(x) = a0 + a1x + a2x² + a2x³ +··· + anxn
Su dominio es R, es decir, cualquier número real tiene imagen.
Funciones constantes
El criterio viene dado por un número real.
f(x)= k
La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.
Funciones polinómica de primer grado
f(x) = mx + n
Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función.
Son funciones de este tipo las siguientes:
Función afín.
Función lineal.
Función identidad.
Funciones cuadráticas
f(x) = ax² + bx + c
Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.
Funciones racionales
El criterio viene dado por un cociente entre polinomios:
Función racional
El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador.
Funciones radicales
El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.
El dominio de una función irracional de índice impar es R.
El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.
Funciones algebraicas a trozos
Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren.
Funciones en valor absoluto.
Función parte entera de x.
Función mantisa.
Función signo.
Funciones trascendentes
La variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.
Funciones exponenciales
función
Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia ax se llama función exponencial de base a y exponente x.
Funciones logarítmicas
La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.
Funciones trigonométricas
Función seno
f(x) = sen x
Función coseno
f(x) = cos x
Función tangente
f(x) = tg x
Función cosecante
f(x) = cosec x
Función secante
f(x) = sec x
Función cotangente
f(x) = cotg x
http://www.vitutor.com/fun/2/c_1.html
1.4 Operaciones con funciones
Suma de funciones
Sean f y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa por f + g, a la función definida por
Resta de funciones
Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la resta de dos funciones reales de variable real f y g, como la función
Para que esto sea posible es necesario que f y g estén definidas en un mismo intervalo.
Producto de funciones
Sean f y g dos funciones reales de variable real, y definidas en un mismo intervalo. Se llama función producto de f y g a la función definida por
Cociente de funciones
Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, y definidas en un mismo intervalo, se llama función cociente de f y g a la función definida por
(La función f/g está definida en todos los puntos en los que la función g no se anula.)
Producto de un número por una función
Dado un número real a y una función f, el producto del número por la función es la función definida por
Ejercicio:
Sean las funciones f(x) = 3x + 1, y g(x) = 2x - 4.
Definir la función f + g y calcular las imágenes de los números 2, -3 y 1/5.
Resolución:
· La función f + g se define como
(f + g) (x) = f(x) + g(x) = x + 1 + 2x - 4 = 5x - 3.
· (f + g) (2) = 5 · 2 - 3 = 7
(f + g) (-3) = 5(-3) - 3 = -18
(f + g) (1/5) = 5 · 1/5 - 3 = -2
Obsérvese que si se calculan las imágenes de f y g por separado y se suman, el resultado es el mismo.
Por ejemplo, para la imagen del 2,
‚ Dadas las funciones f (x) = x2 - 3, y g(x) = x + 3, definir la función (f - g)(x).
Calcular las imágenes de 1/3, -2 y 0 mediante la función f - g.
Resolución:
Calculando las imágenes de los números mediante las funciones f y g por separado, y efectuando la resta, se obtiene el mismo resultado.
Resolución:
Calculando las imágenes de los números mediante las funciones f y g por separado, y multiplicando después, se obtienen los mismos resultados.
„ Dadas las funciones f(x) = -x - 1, y g(x) = 2x + 3, definir f/g.
Resolución:
La función f/g está definida para todos los números reales, salvo para x = -3/2, donde la función g se anula.
Calculando por separado las imágenes de los números mediante las funciones f y g, y después efectuando su cociente, se obtienen los mismos resultados.
Obtener las imágenes de los números 2, 1 y 0 mediante la función 3 · f.
Resolución:
http://www.sectormatematica.cl/contenidos/funoper.htm
1.5 Composición de funciones.
Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, se llama composición de las
funciones f y g, y se escribe g o f, a la función definida de R en R, por (g o f )(x) = g[f(x)].
La función ( g o f )(x) se lee « f compuesto con g aplicado a x ».
Primero actúa la función f y después actúa la función g, sobre f(x).
Cálculo de la imagen de un elemento mediante una función compuesta
Para obtener la imagen de la función compuesta aplicada a un número x, se siguen estos pasos:
1. Se calcula la imagen de x mediante la función f, f(x).
2. Se calcula la imagen mediante la función g, de f(x). Es decir, se aplica la función g al resultado obtenido anteriormente.
Ejercicio:
Sean las funciones f(x) = x + 3 y g(x) = x2.
Calcular g o f y la imagen mediante esta función de 1, 0 y -3.
Resolución:
· La imagen de dos números 1, 0, -3, mediante la función g o f es:
‚ Dadas las funciones f(x) = x2 + 1, y g(x) = 3x - 2, calcular:
a) (g o f ) (x)
b) (f o g ) (x)
c) (g o f ) (1) y (f o g ) (-1)
d ) El original de 49 para la función g o f.
Resolución:
c) Aplicando los resultados de los apartados anteriores:
(g o f ) (x) = 3x2 + 1 = 49. Basta con resolver esta ecuación.
http://www.sectormatematica.cl/contenidos/funcomp.htm
1.6 Gráfica de una función
Si f es una función real, a cada par (x, y) = (x, f(x)) determinado por la función f le corresponde en el plano cartesiano un único punto P(x, y) = P(x, f(x)). El valor de x debe pertenecer al dominio de definición de la función.
Como el conjunto de puntos pertenecientes a la función es ilimitado, se disponen en una tabla de valores algunos de los pares correspondientes a puntos de la función. Estos valores, llevados sobre el plano cartesiano, determinan puntos de la gráfica. Uniendo estos puntos con línea continua se obtiene la representación gráfica de la función.
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
Grafo de una función es el conjunto de pares formados por los valores de la variable y sus imágenes correspondientes.
G(f) = {x, f(x) /x ∈ D(f)}
1.7 Función Lineal y Función Cuadrática
Función lineal
La función lineal es del tipo:
y = mx
Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas
y = 2X
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| y = 2x | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 |
Función cuadrática Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábolaf(x) = ax² + bx + c
Representación gráfica de la parábola
Podemos construir una parábola a partir de estos puntos:
1. Vértice
Por el vértice pasa el eje de simetría de la parábola.
La ecuación del eje de simetría es:
1.8 Función exponencial y logarítmica
La función exponencial es del tipo:
Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia ax se llama función
exponencial de base a y exponente x.
Ejemplos
| x | y = 2x |
|---|---|
| -3 | 1/8 |
| -2 | 1/4 |
| -1 | 1/2 |
| 0 | 1 |
| 1 | 2 |
| 2 | 4 |
| 3 | 8 |
La función logarítmica en base a es la función inversa
de la exponencial en base a.
Ejemplos
Ejemplos
| x |  |
|---|---|
| 1/8 | -3 |
| 1/4 | -2 |
| 1/2 | -1 |
| 1 | 0 |
| 2 | 1 |
| 4 | 2 |
| 8 | 3 |
1.9 Aplicaciones en las ciencias económico administrativas: funciones de oferta y demanda;recta presupuestal, funciones de ingresos, costos y utilidades; funciones de apreciación y depreciación.
La función de demanda fd para cualquier producto, es la función que nos da el número de unidades de producto en función del precio p (por unidad) que los consumidores están dispuestos a comprar. La relación puede ser lineal o cuadrática.
fd = mp + n con m<0 o bien fd = ap2 + bp + c, con a<0.
La función de oferta fo , para cualquier producto, es la función que nos da el número de unidades que la empresa está dispuesta a producir en función del precio (por unidad) del producto. La relación puede ser lineal o cuadrática.
fo = kp + v con k>0 o bien fo = dp2 + ep + f, con d>0.
El equilibrio del mercado se produce cuando el número de unidades que se fabrican coincide con el número de unidades de producto que se demandan. El precio por unidad de producto en este caso se denomina "precio de equilibrio".
En la siguiente escena vamos a analizar la situación que resulta cuando ambas funciones, Oferta y demanda, son lineales. En la parte superior de la escena introduciremos los coeficiente de la función oferta y en la inferior los de la función demanda.
Recta presupuestal
muestra todas las combinaciones posibles de bienes que el consumidor puede adquirir si agota todo su presupuesto en dichos bienes.funciones de ingresos, costos y utilidades
Función de Ingreso (IT): es simplemente el precio de un bien multiplicado por la cantidad que se vende de ese bien.
Ingreso marginal (IM): es el incremento que experimenta el ingreso total cuando se eleva la producción en una unidad. El IM puede ser positivo o negativo en dependencia de la elasticidad de la demanda.
Para un bien en estudio el ingreso marginal se relaciona con el ingreso total, de forma:
Cantidad Q Precio
P=IT/Q (pesos) Ingreso total IT=PxQ (pesos) Ingreso marginal IM (pesos)
En el caso que se tenga la función de ingresos totales, IM= (IT)’.
Función de Costos:
Una función costo especifica el costo C como una función de la cantidad de artículos x. En consecuencia, C(x) es el costo de x artículos, y tiene la forma:
Costo = Costo variable + Costo fijo
En la que el costo variable es una función de x y el costo fijo es constante. Una función costo de la forma
C(x) = mx + b
Se llama una función costo lineal; el costo variable es mx y el costo fijo es b. La pendiente, el costo marginal, mide el costo incrementa por artículo.
Función de utilidad:
U = f (X1, X2, X3 , ... , Xn) (1.1)
Donde “U” es el nivel de la utilidad y “Xi” son los bienes y/o servicios que consume una determinada persona.
http://es.scribd.com/doc/68823445/Funcion-de-Costo-Utilidad-e-Ingresos#scribd
funciones de apreciación y depreciación.
La depreciación es considerada como función del tiempo y no de la utilización de los activos. Resulta un método simple que viene siendo muy utilizado y que se basa en considerar la obsolescencia progresiva como la causa primera de una vida de servicio limitada, y considerar por tanto la disminución de tal utilidad de forma constante en el tiempo. El cargo por depreciación será igual al costo menos el valor de desecho.
Ahora para conocer el gasto cada año multiplicaremos el número de kilogramos cosechados cada año por ese gasto unitario obtenido anteriormente, que en este caso, al tratarse de 5 años de vida útil, quedará así:
Año
|
Costo por kilogramo
|
X
|
Kilogramos
|
Depreciación anual
|
1
|
0,2 €
|
30.000
|
6.000 €
| |
2
|
0,2 €
|
30.000
|
6.000 €
| |
3
|
0,2 €
|
15.000
|
3.000 €
| |
4
|
0,2 €
|
15.000
|
3.000 €
| |
5
|
0,2 €
|
10.000
|
2.000 €
| |
100. 000
|
20.000 €
|
Resumen:
en este modulo aprendimos lo que es una función matemáticas y los diferentes tipos de funciones que existen y como estas se aplican en administración.
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